Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

So, guten Morgen. Wir fangen heute mit der dritten Vorlesung an.

Die ist betitelt mit differenzierbaren Mannichfaltigkeiten.

Letztes Mal hatten wir die topologischen.

Und die topologischen Mannichfaltigkeiten, die hatten wir eingeführt,

die gerade genügend Struktur haben, um darauf definieren zu können,

was eine stetige Kurve oder eine stetige Funktion darstellt.

Also es war unsere Motivation letztes Mal.

Und das ist natürlich tief in der Physik verhaftet, diese Motivation.

Und genauso haben wir eine tief in der Physik verhaftete Motivation

für differenzierbare Mannichfaltigkeiten.

Alle angekommen?

Okay, also die topologischen Mannichfaltigkeiten vom letzten Mal,

die hatten gerade genügend Struktur, um stetige Kurven und stetige Funktionen zu definieren.

Beziehungsweise stetige Abbildungen zwischen solchen topologischen Mannichfaltigkeiten,

also etc., zu definieren.

Okay, das heißt, die hatten, eigentlich hat ja schon ein topologischer Raum,

Sie erinnern sich, genügend Struktur, das zu tun.

Die topologische Mannichfaltigkeit war ein super Sonder-Spezialfall eines topologischen Raumes,

nämlich gerade ein solcher topologischer Raum,

der überall in jeder Nachbarschaft um einen Punkt aussieht, wie ein Stück des R hoch D.

Das ist sehr, sehr speziell und das hatten wir technisch definiert.

Und das ist natürlich genau das, was wir uns so vorstellen.

Nur häufig denkt man sich in der Physik so, naja, es sieht hier so aus, also sieht es überall so aus.

Und die topologische Mannichfaltigkeit erlaubt Ihnen, diesen Schluss etwas schwächer zu machen.

Der Schluss ist, wenn hier der Raum oder die Raumzeit oder was auch immer,

wir werden das hier nachher verschiedentlich anwenden, aussieht wie ein Stück vom R hoch D,

dann soll es zwar überall wie ein Stück vom R hoch D aussehen, der physikalische Raum oder die physikalische Raumzeit,

aber nicht notwendigerweise global ein R hoch D sein.

Zum Beispiel eine Kugel sein im zweidimensionalen oder dreidimensionale Kugel

noch komplizierter und so weiter und so fort.

Und das werden wir alles brauchen.

Das ist auch die Grundlage der Lagrange oder die Grundidee der Lagrange-Mechanik und der Hamilton-Mechanik,

aber auch der allgemeinen Relativitätstheorie etc. Das lohnt sich also.

So, das waren die topologischen Mannichfaltigkeiten vom letzten Mal.

Und was ist jetzt neu an den differenzierbaren Mannichfaltigkeiten, die wir heute anschauen?

Nun ja, das ist schon wieder etwas, was tief in der Physik, in unserer Vorstellung vom physikalischen Raum verankert ist,

nämlich dass, wenn wir jetzt Kurven angucken, denken Sie physikalisch immer an die Bahnenkurve eines Teilchens,

das aus irgendwelchen Gründen irgendeine Bahnenkurve nimmt, dass man an jeder Stelle dieser Kurve einen Geschwindigkeitsvektor definieren kann.

Wir sprechen in der Mechanik von Geschwindigkeiten und später von Beschleunigungen und lauter solchen Sachen.

Da sind wir noch nicht. Und ich möchte Sie mal bitten, zunächst mal Ihre Erinnerungen daran zu löschen.

Auf dem vierten Aufgabenblatt, das ist jetzt das dritte, das vierte bekommen Sie danach, den Osterfeen,

da werden Sie auch ein bisschen was lernen über die Verwirrungen und Wirrungen von Null der erste und Zweite Ableitung einer Bahnenkurve.

Aber wie auch immer, wir wollen auf jeden Fall entlang einer Bahnenkurve überall einen Geschwindigkeitsvektor definieren können.

Aber um einen Geschwindigkeitsvektor aus einer Bahnenkurve zu extrahieren, müssten Sie ihn in irgendeiner Form ableiten.

Auf einer topologischen Mannichfaltigkeit habe ich Ihnen, ist sich also voll cooperational ligiert,

und wir müssen deswegen die differenzierbaren Mannigfaltigkeiten einführen.

Also was wir heute machen,

differenzierbare Mannigfaltigkeiten sind mit zusätzlicher, also schon wieder

neue Struktur drauf,